使い方からこの違いを改めて考えてみたけど、例えば男女を同じように扱うというのは平等ですね。勿論、性別に起因した差異はあるが、同じように扱うことを平等と言う。男女公正とか、男女公平とかは言わない、はず。
取引とかを言う時は公正な取引。平等な取引とか、公平な取引とは普通言わないと思う。アクターが同じ結果を得られるように扱うことを公正。調べてみると公平＋正しさが求められるという説明もあるけど、ここでいう正しさってのは道義に反していないとか、法に反していないとか、そういう意味かね。
公平は上にも書いたけど、同じ結果を得られるような意味か。饅頭を公平に分けるとか。

公平、平等、公正でググるとわかりやすいイラストが出てくるのでそちらもぜひ見てほしい（いまいち著作権がはっきりしないように見えたので載せません）が、リンゴに手が届くように高さの違う脚立を用意することを公平（equity）、手は届かないかもしれないが同じ高さの脚立を用意することを平等（equality）、同じ高さと同じ高さの脚立を用意することを公正（justice）。
絵にすると、そうか？と思う。

公正

公平でかたよっていないこと。明白で正しいこと。また、そのさま。　コトバンク

平等

② かたよることなくひとしいこと。ひろく行きわたって差別がないこと。一様に扱うこと。また、そのさま。へいとう。　コトバンク

公平

判断や行動が公正でかたよっていないこと。特定の人のえこひいきをしないこと。また、そのさま。くびょう。　コトバンク